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数学物理方法试卷答案.docx 10页

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  • 2020-10-11 发布
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    精品文档 《数学物理方法》试卷答案 一、选择题 (每题 4 分,共 20 分) 1.柯西问题指的是( B ) A.微分方程和边界条件 . B. 微分方程和初始条件 . C.微分方程和初始边界条件 . D. 以上凯发注册|登陆不正确 . 2.定解问题的适定性指定解问题的解具凯发注册|登陆( D ) A .存在性和唯一性 . B. 唯一性和稳定性 . C. 存在性和稳定性 . D. 存在性、唯一性和稳定性 . 2 u 0, 3. 牛曼内问题 u 凯发注册|登陆解的必要条件是( C ) n f A . f 0 . B . u 0 . C. f dS 0 . D. udS 0 . 4.用分离变量法求解偏微分方程凯发注册|登陆,特征值问题 X '' (x) X ( x) 0, 0 x l X (0) X (l ) 0 的解是( B ) 2 ,cos n 2 A . ( n x ) . B . ( n ,sin n x ) . l l l l (2n 2 (2n 1) ( 2n 2 (2n 1) C 1) x ) . D . 1) . ( ,cos ( 2l , sin x ) . 2l 2l 2l 5.指出下列微分方程凯发注册|登陆个是双曲型的( D ) A . uxx 4 5 u x 2 uy 0 . u xy u yy B . uxx 4uxy 4u yy 0 . C . 2 uxx 2 2 uyy xyux 2 u y 0 . x xyuxy y y D . uxx 3uxy 2u yy 0 . 精品文档 精品文档 二、填凯发注册|登陆题 (每题 4 分,共 20 分) 2 u 2u 0, 0 x , t 0 t 2 x 2 1.求定解问题 的解是 ( 2 sin t cosx ). u x 0 2sin t, u x 2sin t , t 0 u t 0 0, ut t 0 2 cosx, 0 x 2.对于如下的二阶线性偏微分方程 a(x, y)uxx 2b(x, y)uxy c( x, y)u yy du x eu y fu 0 其特征方程为 ( a( x, y)(dy )2 2b( x, y)dxdy c( x, y)(dx) 2 0 ) . 3.二阶凯发注册|登陆微分方程 '' ( x) 1 y ' (x) ( 1 3 ) ( ) 0 的任一特解 y ( J 3 ( 1 x) y x 4 4 x2 y x 2 2 或 0). 4.二维拉普拉斯方程的基本解为( ln 1 ),三维拉普拉斯方程的基本解为 ( 1 ). r r 5.已知 J 1 (x) 2 sin x, J 1 ( x) 2 cos x ,利用 Bessel 函数递推凯发注册|登陆式求 2 x 2 x J 3 ( x) ( 2 ( 1 sin x cos x) 2 x 23 (1 d )( sin x ) ) . 2 x x x dx x 三、( 15 分)用分离变量法求解如下定解问题 2u 2 2u t2 a x2 0, 0 x l , t 0 u 0, u 0, t 0 x x x x l 0 u t 0 x, ut t 0 0, 0 x l. 解:第一步:分离变量 (4 分) 设 u(x,t ) X (x)T (t ) ,代入方程可得 精品文档 精品文档 X ( x)T '' (t ) 2 X '' X '' ( x) T '' ( x) a (x)T (t ) a 2 T( x) X (x) 此式凯发注册|登陆,左端是关于 x 的函数,右端是关于 t 的函数。因此,左端和右端相等, 就必须等于一个与 x,t 无关的凯发注册|登陆数。设为 ,则凯发注册|登陆 X '' ( x) T '' ( x) X ( x) a2 T ( x) T '' (t ) a2T (t ) 0, X ' ' ( x) X ( x) 0. 将 u( x, t) 代入边界条件得 X ' ( 0)T (t ) X ' (l )T (t) 0, 从而可得特征值问题 X '' (x) X ( x) 0 X ' (0) X ' (l ) 0, 第二步:求解特征值问题 (4 分) 1) 若 0 ,方程的通解形式为 X (x) Ae x Be x 由定解条件知 A 0, B 0 ,从而 X ( x) 0 ,不符合要求。 2) 若 0 ,方程的通解形式为 X ( x) Ax B 由边界条件知 A 0, ,从而 X ( x) B 。 若0 ,方程的通解形式为 X ( x) Acos x B sin x 代入边界条件得 B 0, B 0, ( n Asin l 0 ) 2 , n 1,2,3,... l 从而得特征值问题的一凯发注册|登陆列特征值及相应的特征函数 n ( n )2

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    • 审核时间:2020-10-11
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